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Les trois quarts de la classe Un demi litre de lait Un centième de seconde Les deux cinquièmes de la population
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Ce sont des expressions courantes utilisant des fractions |
Les fractions
Fractionner quelque chose signifie le partager, le diviser en plusieurs parties.
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Les trois quarts de la classe Un demi litre de lait Un centième de seconde Les deux cinquièmes de la population
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Ce sont des expressions courantes utilisant des fractions |
Que représente deux sixièmes de
la tarte?
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| Pour déterminer Deux sixièmes de la tarte | Il faut partager la tarte en six parts égales | et on en prend deux sur six.
Ainsi, les parts bleus représentent deux sixièmes de la tarte.
Deux sixièmes se note
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se
lit quatre septièmes
;
se lit trois dixièmes ; ......
Des
fractions à la dénomination particulière:
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un demi | ||||
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un tiers |  |
deux tiers | ||
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un quart |  |
deux quarts |  |
trois quarts |
Écriture décimale et écriture fractionnaire:
Que veut dire
L
de lait?
un demi a pour écriture décimale le résultat de 1¸2 c'est à dire 0,5.
Ainsi,
L
signifie 0,5 L.
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Pour trouver l'écriture décimale d'une fraction, il faut divisé le numérateur par le dénominateur. |
On
dit que:
0,5
est l'écriture décimale de
et que
est l'écriture fractionnaire de 0,5
Remarque importante: Que ce soit en partagent une tarte ou en déterminant l'écriture décimale, on remarque que:
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pour n'importe quel nombre entier n
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pour n'importe quel nombre entier n
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Je vous conseille d'avoir en tête ce schéma:
Hachurons
et
d'une surface rectangulaire
| J'obtient de
la surface, en la partagent en
3 parties égales et en coloriant 1 partie sur 3 |
J'obtient  de
la surface, en la partagent en
6 parties égales et en coloriant 2 partie sur 6 |
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| Vous remarquez qu'on obtient
finalement la même surface, on dit que
les deux fractions sont
égales: On a multiplié par 2 le partage de la surface (donc le dénominateur) mais on a aussi multiplié par 2 le nombre de parties coloriées (donc le numérateur) |
A retenir:
| On obtient une fraction égale en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre | 
ou écrit autrement |
| et, nécessairement:
On obtient une fraction égale en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre |
ou, écrit autrement: |
On va pouvoir
maintenant simplifier
des fractions:
en effet 
est une
fraction plus "simple" que 
.
Le passage de
à s'appelle une
simplification de fraction: il suffit de faire des
divisions successives par un même nombre au numérateur et au dénominateur
jusqu'à obtenir une fraction la plus simple possible. Une telle fraction
s'appelle une fraction irréductible (qu'on ne peut pas réduire).
Concrètement: voilà une technique efficace et rapide :
Mettons
sous forme de fraction irréductible
(c'est à dire: simplifions)
Nous allons décomposer le numérateur et le dénominateur:
- par 2: 990 = 2 X 495 et 420 = 2 X210
donc =
=
d'après
ce qu'on a déjà vu.
On
écrira (c'est plus rapide!) 
(on
barre un 2 au numérateur et au dénominateur)
Peut-on encore simplifier par 2? Non! car, on voit que 445 n'est pas divisible par 2 même si 420 l'est (son dernier chiffre "5" n'est pas pair)......
On ne peut plus simplifier par 2 alors essayons par 3:
- par 3:
peut-on
encore simplifier par 3? 165 est divisible par 3 mais pas 70,
donc
on ne peut plus simplifier par 3
- par 4?.....inutile d'espérer, sinon on aurait pu simplifier encore par 2!
- par 5:
- par 6: 6 = 3x2. Donc si on pouvait simplifier par 6 on aurait pu simplifier encore par 2 et par 3, ce qui n'est pas le cas!
-par 7 : 14 = 2x7 mais 33 n'est pas divisible par 7 donc: on ne peut pas simplifier par 7
Inutile d'aller au-delà de 7, car il est évident que 14 n'est pas divisible par des nombres plus grand que 7.
Finalement: 
est la forme irréductible de
Remarque importante:
On remarque que 990 et 420 se termine tous deux par un zéro, ce qui veut dire qu'ils sont tous les deux divisible par 10.
990 = 10x99 et 420 = 10x42 donc 
On voit que cela revient au même de barrer un zéro au numérateur et au dénominateur:
et puis on termine la simplification:
-par 2: non!
- par 3: 
.....et
on retrouve le même résultat...en moins de temps!
Comparer deux fractions, c'est dire si elles sont égales (on sait le faire) ou trouver quelle fraction est plus grande (ou plus petite que l'autre).
Il est facile
de comparer les fractions à 1:
Si
p>n alors
>1 |
Si
p<n alors
<1 |
Par conséquent, toutes les fractions qui
s'écrive sous la forme
avec n un nombre plus grand que1, sont inférieurs à 1:
<1
Exemples: >1
car 33>14 et
<1 car 1<3
Il est
également facile de comparer des fractions qui ont le
même dénominateur:
Si p1<p2 alors:
<
et si p1>p2
alors:
>
exemple
: 
<
car 3 < 4
Il est moins
évident de comparer des fractions qui ont des
dénominateurs différents:
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- Sauf si une des fractions est supérieure à 1 et l'autre inférieure à 1: par exemple:
|
-Si ce n'est pas le cas, il faut
les mettre au même dénominateur:(on peut multiplier le
numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre: on
obtient une fraction égale)
Comparons On les met au même dénominateur :
Et maintenant, il est facile de les comparer: 21>20 donc
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| Addition de fractions:
on additionne les numérateur:
Il faut les mettre au même dénominateur Calculons: Nous
avons vu que: donc:
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Soustraction de fractions:
Cela se fait exactement comme l'addition: - il faut d'abord mettre les fractions au même dénominateur si cela est nécessaire - puis soustraire les numérateurs
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| Multiplication de fractions:
Rien de plus simple: on multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble:
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Divisions de fractions:
Diviser par une fraction (ou même un nombre), c'est multiplier par son inverse: Sachant que l'inverse de:
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Résoudre un problème relatif aux fractions- Fraction d'un nombre
d'une classe de 20 élèves sont des garçons. Combien y a-t-il de garçon dans
cette classe?
Il faut donc chercher combien vaut
de 20:
- on peut toujours diviser le nombre d'élève par 5 (20divisé par 5 = 4) est en prendre "3 parts" (3 fois 4 = 12): il y a 12 garçons dans la classe.
- Mais le plus rapide est d'effectuer le calcul:
Il suffit de multiplier la fraction par le nombre:( 20
= 
):
ou plus directement: 
(penser
à "on en prend 2 sur 6")
:
et 
>
c'est à
dire: 
c'est
